זה מתחיל בכמה משפטים שכותב אדם אחד על מקלדת מחשב בנקודה אחת בעולם. בשעה טובה, הודעת דואר אלקטרוני חדשה נהרתה. האותיות מתורגמות לביטים – שני ערכים שהמחשב יכול להתמודד איתם, 0 ו־1. אלה הופכים לאותות אלקטרוניים ומשוגרים למחשב אחר בנקודה אחרת בעולם – שיכולה להיות גם בחדר הסמוך. המחשב השני, דובר שפת הביטים בעצמו, מקבל את האותות, מתרגם אותם לטקסט, והנה הגיע המייל ליעדו והנמען מסוגל לקרוא אותו בדיוק כפי שנכתב. או שלא.
הרבה לפני שריי תומלינסון השתעשע ברעיון של העברת קבצים בין שני מחשבים מרוחקים, והפך לאבי הדואר האלקטרוני, התחבטו מדענים בשאלה איך להתמודד עם שיבושים שאורבים למסרים בדרכם ועושים בהם שמות. "הטבע מלא רעשים", מסבירה לי פרופ' אירית דינור ממכון ויצמן למדע. "בתוך הטבע יש כל הזמן שגיאות, שריטות, רעש קוסמי, ולכן נדרש 'נוהל תיקון שגיאות'. אחד השימושים הראשונים בנוהל כזה היה כששלחו חלליות לחלל וניסו לתקשר איתן, אבל גלי קרינה קוסמית פגמו בתקשורת. שיבושים קורים גם כי מחשבים מתחממים או מעלים אבק, וכך משהו במידע המועבר נפגם".
המונח שדינור הזכירה, נוהל תיקון שגיאות (Error correction code), הוא למעשה שיטה מתמטית־הנדסית להעברת מידע באופן מהימן בערוצי תקשורת "רועשים". תת־ענף מתמטי המשתייך לתורת האינפורמציה עוסק בבנייה ובייעול של שיטות כאלה, ומנסה להבטיח ברמת סבירות גבוהה שהודעות יפוענחו נכונה, גם אם ייפלו תקלות בתהליך ההעברה. המתמטיקאי קלוד שאנון (1916־2001), מי שנחשב לאבי תורת האינפורמציה, עסק בנושא הזה כבר בעבודות החלוציות שלו. מאז ועד היום נבנו קודים שונים לצורך בדיקה ותיקון של תשדורות, אבל הם לא היו מסוגלים לגלות במהירות את היקף השיבושים בתשדורת ארוכה ולקבוע עד כמה היא פגומה. במשך עשרות שנים ניסו חוקרים לבנות קוד שיתגבר על המגבלות, אבל לא הצליחו לפצח את האתגר. רבים אפילו לא האמינו שניתן לעשות את זה.
פרופ' אירית דינור: "זה כמובן עוד חזון רחוק, אבל המשמעות של המחקר שלנו פשוטה למדי. נכון להיום קוד בא יחד עם תוכנה שמנקה את השגיאות, אבל לוקח לה הרבה זמן לרוץ. אם ייעשה שימוש בקודים בעלי תכונה של בדיקה מקומית מהירה, זה עשוי לחסוך זמן רב בעולם הדיגיטלי שלנו"
והנה לאחרונה פרופ' דינור ועמיתה פרופ' אלכס לובוצקי ממכון ויצמן, יחד עם ד"ר שי אברה, פרופ' רון ליבנה ופרופ' שחר מוזס מהאוניברסיטה העברית, הגיעו לפריצת הדרך המיוחלת. השמועה עשתה כנפיים עוד קודם שנשלח המאמר ל־arXiv, אתר פתוח למאמרים אקדמיים מתחומי המדעים המדויקים. ההישג עורר רעש גדול בעולם המחקר – רעש במובן החיובי הפעם. "זו אחת התופעות המדהימות ביותר שאני מכיר במתמטיקה או במדעי המחשב, זהו הגביע הקדוש של תחום שלם", התפעל פרופ' טום גור מאוניברסיטת ווריק בבריטניה. המאמר כבר רשם הישג כשהתקבל ל־STOC (Symposium on Theory of Computing) – כנס שנתי גדול בתחום מדעי המחשב שייערך בחודש הבא ברומא – וגם הוכתר כמאמר החשוב ביותר בכנס הזה.
את לובוצקי, חתן פרס ישראל לחקר המתמטיקה לשנת תשע"ח, אני פוגשת בחדרו החדש במחלקה למתמטיקה במכון ויצמן, אליו היגר ממש לאחרונה. במשך שלושים שנה השתייך למכון איינשטיין באוניברסיטה העברית, ועל המחקר החדש, יש לומר, הוא שקד בעיקר בין הכתלים הירושלמיים. זו לא הפעם הראשונה שאני מראיינת את לובוצקי; כמתמטיקאי רב־פעלים ופרסים וכחבר כנסת לשעבר, כבר היו אי אילו סיבות לדבר איתו. בדרך כלל השיחה נסבה סביב "תורת החבורות", הענף המתמטי שבו הוא מתמחה. העיסוק שלו באגף של תורת האינפורמציה הוא בלתי צפוי, ונוצר בזכות מפגש משולש בניו־ג'רזי ומנגנוני הגנה יהודיים בני למעלה מאלף שנה, אבל לכל זה עוד נגיע; בינתיים אנחנו נשארים בתחום המתמטיקה – ברמה שהנייר ואנוכי יכולים לשאת.
"נוהל תיקון שגיאות", מסביר לובוצקי, הוא אבן יסוד בתקשורת המודרנית שמשמשת אותנו בכל רגע נתון. "בטלפון הנייד שלך יש נוהל תיקון שגיאות, ולכן מסרון שנשלח אלייך יתפענח נכונה גם אם יחולו הפרעות בתקשורת; בתקליטורים של מוזיקה שעלולים להיפגם בשמש או להישרט יש נוהל תיקון שגיאות, כך שלא כל שריטה תפגע במוזיקה. אם תקבלי מייל שבו שתי אותיות שגויות, המוח שלך ידאג להשלים אותן ותסתדרי, אבל כאשר מדובר במסר ארוך ועמוס בספרות, השיבוש עלול להיות בעייתי. אם המידע שעל גבי צ'ק יוזן למערכת של הבנק בצורה לא נכונה, עלולים לחייב אותך בסכום גבוה פי כמה. כאן השגיאה היא קריטית, ולכן יש שימוש בנוהל תיקון שגיאות. ישנם שני פרמטרים מרכזיים בתיקון תקלות בשדרים אלקטרוניים: אל"ף – להאריך בתוך כך את המסר כמה שפחות; בי"ת – להיות מסוגלים לתקן כמה שיותר שגיאות".
לשם מה להאריך את המסר?
"אדגים לך נוהל תיקון שגיאות פשוט. אפשר לקחת כל ביט, כל ספרה של אפס או אחת, ולחזור עליו שלוש פעמים. במקום 0־1 נקבל 0־0־0־1־1־1. אם תיפול שגיאה, המחשב יפעל לפי עקרון של 'הרוב קובע': שתיים משלוש הספרות הן 1, אז כנראה המסר הנכון הוא 1. אלא שלקוד כזה יש כמה בעיות רציניות, ואחת מהן היא בזבזנות – המסר גדל פי שלושה. האתגר של החוקרים היה למצוא שיטות שהבזבוז בהן מזערי והאמינות מרבית.
"אגב, יש מחקר מעניין בביולוגיה שאומר שאחת הסיבות לכך שהדי־אן־איי ארוך כל כך, כשחלק מה'אותיות' שלו לכאורה לא חשובות, היא נוהל תיקון שגיאות. אם תיפול שגיאה, הגוף ידע איך לרפא אותה".
לשים את הקנרית במכרה
פרופ' דינור מצטרפת אלינו לחדר, בין הרצאה לפגישות עם סטודנטים. היא חוקרת במכון ויצמן מזה 15 שנה, ונחשבת למטאורית במדעי המחשב עוד הרבה קודם. "הבעיה שעבדנו עליה קשורה לא רק בהעברת אינפורמציה, אלא גם בחישוב", היא מסבירה את המחקר פורץ הדרך. "כשהמחשב פועל מתרחשות שגיאות, ואת רוצה לוודא שניקית טעויות לא רק מהדאטה, אלא גם מהחישוב עצמו".
איפה נעוץ האתגר הגדול?
לובוצקי: "בעבר נקבעו סטנדרטים מסוימים שאומרים מתי קוד נחשב טוב מבחינת היחס בין ההארכה ליכולת תיקון שגיאות. אלה מסורות בנות שבעים שנה. שאנון הוכיח באופן תיאורטי את אפשרות קיומו של קוד ברמה גבוהה, אבל לא היה ברור שיש בפועל קודים שעומדים בסטנדרטים האלה. ההנחה המקובלת של התחום הייתה שקודים טובים הם קודים שנוצרו בתהליך רנדומי, אקראי. כלומר, אל תתכנן מה שאתה עושה, תגריל מטריצה, והיא תיתן תוצאה טובה. במשך השנים נמצאו עוד כל מיני תכונות של קודים שמקדמות אותנו למטרת־העל שלנו, שהיא לתקן יותר שגיאות ולקצר את הבדיקות. האתגר שהתמודדנו איתו היה כיצד אפשר לזהות את המילים ה'מקולקלות' על ידי קריאה של כמות אותיות קטנה מתוך ההודעה, בלי לקרוא את כולה".
"השיטה שבנינו במחקר שלנו", מוסיפה דינור, "לא הייתה לקחת קודים קיימים ולשכלל אותם עוד יותר, אלא לייצר קוד בעל תכונה נוספת, תכונה של 'בדיקה מקומית'. באחד המאמרים שנכתבו על המחקר שלנו המשילו את העניין לאותה ציפור קנרית שעומדת במכרה הפחם. אם היא מפגינה סימני מצוקה, היא בעצם מתריעה על נוכחות של גזים רעילים – כלומר, היא עושה מעין בדיקה מקומית. עבדנו עם תורה שאחרים השתמשו בה כבר הרבה שנים, אבל לא חשבו שאפשר להתבסס עליה כדי לפתור את הבעיה".
בלי להיכנס בעובי הקורה נאמר שצוות החוקרים הישראלי פיתח מנגנון רב־ממדי שמסוגל לבחון מספר קטן של ביטים, ולזהות באמצעותם טעויות בביטים רבים אחרים. "פרופ' עודד גולדרייך, ששמו עלה לכותרות בשנה האחרונה בעקבות ההחלטה להעניק לו את פרס ישראל, שיער בשלב מסוים שאי אפשר לעשות את מה שאנחנו ניסינו, והוא לא היה היחיד שאמר זאת", מסביר לובוצקי. "מדוע? כי החוקרים חשבו שהקודים הרנדומיים הם המודל שאליו שואפים. אכן יש הרבה מאוד קודים כאלה ורובם עובדים, אבל מה קורה אם נפלת על חמשת האחוזים שלא עובדים? הבדיחה אומרת שאם אתה רוצה לבנות קוד רדנומי, זה כמו לחפש שחת בערמת שחת. כלומר, הרוב מקיימים, ואתה צריך להוכיח שהקוד שלך מקיים את מה שחיפשת. הקודים שלנו היו מחט בערמת שחת, כאשר לא ברור אם המחט בכלל קיימת שם. לפי השערות מסוימות, אין אפשרות לבנות קוד כזה.
"בעבר היו שולחים מיילים שאורכם 128־256 ביטים, היום אנחנו מדברים כבר על 40 אלף עד 200 אלף ביטים. למקבל השדר יש אלגוריתם לתיקון שגיאות והוא אכן יכול לתקן אם השגיאות מתפרסות על שני אחוזים, חמישה אחוזים. אבל אם יש ארבעים אחוזים כאלה, אחרי שהאלגוריתם יקרא את כל ה־200 אלף ביטים ויבזבז זמן יקר, הוא יגלה שאלה שטויות. 200 אלף ביטים הם המון זמן בעולם הזה. אנחנו מצאנו 'קוד מובחן מקומית' שיכול לדגום 70 ביטים ולהגיד בהסתברות גבוהה אם המייל נאמן למסר המקורי, או 'ליד', או שהוא פגום מדי וכדאי לשלוח אותו מחדש. אני מוכרח לומר שבסופו של דבר העבודה הזאת די אלמנטרית, ומפתיע שלקח ארבע שנים להגיע אליה. עשינו סיבוב ארוך מאוד, התחלנו עם רעיונות הרבה יותר מופשטים, הסתבכנו איתם ופתאום עלינו על קיצור הדרך".
במה שונה המנגנון הרב־ממדי ממה שעשו לפניכם?
"החידוש בעבודה שלנו הוא שהקודים הקודמים התבססו על תורת הגרפים, שהם אובייקטים חד־ממדיים. אנחנו הלכנו לקומה שנייה לא רק באופן מטאפורי. הלכנו לאובייקטים קומבינטוריים גיאומטריים שיש להם עוד ממד. הם לא רק נקודות וקשתות אלא יש להם מלבנים, ולכן הקוד שלנו בנוי על אובייקט דו־ממדי".
כרגע אנחנו מדברים על הישג תיאורטי, מה יכולים להיות השימושים המעשיים של תגלית כזו?
דינור: "זה כמובן עוד חזון רחוק, אבל המשמעות די פשוטה. נכון להיום קוד בא יחד עם תוכנה שמנקה את השגיאות, אבל לוקח לה הרבה זמן לרוץ. אם ייעשה שימוש בקודים בעלי תכונה של בדיקה מקומית מהירה, זה עשוי לחסוך זמן רב בעולם הדיגיטלי שלנו".
הכישלון של המגילות
באי הכנס באיטליה יופתעו ודאי לשמוע שמבחינת אחד החתומים על המאמר המהפכני, העבודה הזו התחילה מקוד יהודי קדום. לובוצקי, שהיה מזוהה עם "תורת החבורות", עשה פנייה חדה לענף אחר לגמרי הודות להתעמקותו במסורה – מערכת הערות שנרשמו בשולי הטקסט המקראי, בכתבי יד עתיקים שהקפידו על דיוק. מטרת המסורה הייתה לשמור על נוסח אחיד ולמנוע נפילת שיבושים בספרי התנ"ך, כשאלה הועתקו ידנית. הערות השוליים ציינו למשל אם מילה מסוימת צריכה להופיע בכתיב מלא או חסר, כמה פעמים בתנ"ך היא נכתבת בצורה זו, האם יש לכתוב "יונתן" או "יהונתן", כמה פסוקים בתנ"ך פותחים במילה מסוימת ועוד. המסורה הקדומה נכתבה כבר בתקופת התלמוד, אבל המסורה שנפוצה ברוב המוחלט של קהילות ישראל היא זו הטבריאנית, שהתגבשה סביב המאה ה־9 בקירוב. בעלי המסורה בטבריה, שהמוכר שבהם היה אהרן בן אשר, הם שהתקינו גם את סימני הניקוד העברי וטעמי המקרא הנהוגים כיום. "כתר ארם צובא", ספר התנ"ך המפורסם שנכתב בטבריה במאה העשירית, נאמן לכל כללי המסורה הטבריאנית. חוקרי המקרא רואים בכתב יד זה את הנוסח המדויק ביותר של התנ"ך, הודות להתאמה המלאה בין הטקסט עצמו לבין הערות המסורה הנלוות אליו.
לובוצקי החל לחשוב על הקשר בין מסורה למתמטיקה לפני 15 שנה, בעת שניהל תוכנית מחקר במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון. "ביקר אותי שם חברי הקרוב יוסי עופר, שיש לו תואר במתמטיקה וכיום הוא פרופסור לתנ"ך באוניברסיטת בר־אילן. בשבת הוזמַנו לארוחת ערב אצל חבר מבית הכנסת, נתנאל פיש, שהוא פיזיקאי בפרינסטון. הוא לא הכיר לפני כן את יוסי, והתעניין מה הוא עושה בחייו. יוסי השיב לו שהוא חוקר מסורה, וכשהסביר בפרוטרוט מה היא, פיש חייך ואמר: 'הבנתי, מסורה היא בעצם נוהל תיקון שגיאות'. אני זוכר שהתלהבתי מאוד מהתובנה הזאת, שנאמרה חצי בצחוק. זו הייתה הברקה, כי אם חושבים על כך – מסורה היא מערכת שנועדה לשמר טקסט ולמנוע שגיאות כשיבואו להעתיק אותו. המטרה שלה היא לדאוג לאחידות הטקסט בהעברה הבין־דורית".
פרופ' אלכס לובוצקי: "מצאנו קוד שיכול לדגום 70 ביטים מתוך 200 אלף, ולהגיד בהסתברות גבוהה אם המייל נאמן למסר המקורי, או 'ליד', או שהוא פגום מדי וכדאי לשלוח אותו מחדש. אני מוכרח לומר שבסופו של דבר העבודה הזאת די אלמנטרית, ומפתיע שלקח שנים להגיע אליה. התחלנו עם רעיונות הרבה יותר מופשטים, הסתבכנו איתם ופתאום עלינו על קיצור הדרך"
עופר ולובוצקי, שניהם שומרי מצוות, יצאו לאחר הארוחה להליכה ממושכת בדרך חזור, והם ניצלו אותה כדי לדון בהקבלה שהעלה פיש. "אמרתי לעופר שיהיה מעניין להסתכל על המסורה בעיניים של תורת אינפורמציה מודרנית, ולראות אם אפשר להסיק משהו לגביה כשחושבים עליה כנוהל תיקון שגיאות. זמן לא רב אחרי שחזרנו לארץ, הבן שלי (עשהאל לובוצקי, כיום רופא – י"א) נפצע קשה בקרב בבינת־ג'בייל. באותה תקופה הראש שלי היה במקום אחר. רק אחרי שנתיים־שלוש אמרתי ליוסי שהסיפור הזה עדיין מנקר אצלי. העברתי אז קורס סמינר לתלמידי תואר ראשון, והזמנתי אותו להרצאה האחרונה כדי שידבר על המסורה. מאז הקפדנו לשבת בכל פעם שעתיים או שלוש ולדון בעניין, ולאט־לאט ראינו שאנחנו מגיעים לתובנות חדשות על המסורה".
סיעורי המוחות והלימוד המשותף הולידו מאמר שנכנס לרבעון "תרביץ", כתב־עת שרואה אור מטעם המכון למדעי היהדות באוניברסיטה העברית, ונחשב לאחד החשובים בתחומו. "ואת יודעת מה? אני הכי גאה במאמר הזה", אומר לובוצקי. "כשקיבלתי פרס ישראל וביקשו ממני רשימה של המאמרים המשמעותיים ביותר שכתבתי, הכנסתי גם אותו. זה העולם הבא שלי", הוא צוחק.
"המסורה עושה לטקסט המקראי בדיוק מה שעושה נוהל תיקון שגיאות לתשדורת", נכתב במאמר ההוא. "היא מאריכה את הטקסט המקורי ומוסיפה לו הערות מסורה מסוגים שונים, ובכך היא מאפשרת לשדר ממקום למקום ומדור לדור את הטקסט המקורי, ולתקנו משגיאות הנופלות בו בזמן העתקתו מכתב יד למשנהו".
עופר עצמו התוודע למסורה, בין השאר, כתלמידו של הרב מרדכי ברויאר ז"ל – מי שמפעל חייו היה חקר נוסח המקרא, וזכה אף בגישה לכתר ארם צובא; וכתלמיד של הבלשן פרופ' ישראל ייבין, שכתב ספר חשוב על הניקוד במסורה. עופר סייע גם לסופר אמנון שמוש במציאת מקורות מדעיים והיסטוריים לצורך כתיבת ספר על כתר ארם צובא, וכך גילה את המסמכים של פרופ' משה קאסוטו – אחרון החוקרים שזכו לבחון כתב יד חשוב זה בשלמותו, לפני שנעלמו ממנו כשליש מדפיו. בשנים שלאחר מכן איתר עופר ומצא מקורות נוספים שמשמשים להשלמת המידע החסר על הכתר.
"המסורה מוסיפה למקרא מידע חיצוני בעיקר בעזרת מספרים, כשהיא מציינת שמילה מסוימת נזכרת איקס פעמים, או נכתבת בכתיב מלא כך וכך פעמים", מסביר עופר בשיחה טלפונית. "המידע העודף הזה נועד 'לאבטח' או לשמר את נוסח המקרא, מה שכמובן מתחבר לנוהל תיקון שגיאות. למעשה ההשוואה קצת מורכבת, כי בניגוד לתשדורת אלקטרונית, במסורה לא מדובר רק על נוסח מקורי אחד שצריך להעביר אותו אל היעד. פעמים רבות יש מחלוקות, דעות שונות באשר לטקסט הנכון, ונדרש תהליך מתמיד של השוואה, איסוף המחלוקות והכרעה בהן. בכתיבת המסורה יש גם תהליך של הכרעה במחלוקות וגם קיבוע של ההכרעה הזו. בעלי המסורה באים לשמר את ההכרעה שלהם, כי הם לא רק מגינים מפני טעות מקרית חדשה שעלולה לצוץ, אלא גם מפני מסורת אחרת שנדחתה, אבל ייתכן שמישהו עדיין מחזיק בה".
בעלי המסורה, מסביר עופר, הצליחו במקום שבו דורות קודמים נכשלו, או לא הגיעו לתוצאה מושלמת. "כשבודקים את מגילות מדבר יהודה למשל, רואים שהיה מגוון גדול של נוסחים לאותם טקסטים. בקומראן אנחנו עדיין מוצאים מגוון, ומחוץ לה – מצדה, עין גדי, נחל חבר – מוצאים נוסח שהוא כבר אחיד יותר. במבט היסטורי, המסורה היא שהצליחה ברוב הגדול של המקרים להגיע להכרעה ברורה לגבי כל אות ואות בתנ"ך. אפשר לומר שהמערכת הזו בכללותה נחלה הצלחה".
להשקיע בנקודות התורפה
בדיון המשותף על המסורה בראי תורת האינפורמציה, בחנו לובוצקי ועופר את מנגנוני המסורה ואת הסיבות לעמידתם במשימת השימור. "עזרה לכך העובדה שהמספרים הנקובים במסורה – למשל, הערה האומרת שמילה מסוימת נזכרת במקרא שלוש פעמים בכתיב מלא – השתכפלו בתוך המסורה עצמה פעמים רבות. הביאו אותם שוב שוב בכל המקומות הרלוונטיים, והם התקבעו בזיכרון והועתקו, ניתן להם כוח. לא יכול לבוא מישהו ולטעון אחרת".
עדיין נראה לי שיש הבדל מהותי בין שני התחומים: בנוהל תיקון שגיאות מודרני אנחנו מדברים על רעש, שיבוש אקראי, ואילו במסורה מדובר על טעויות של בני אדם – אות שמשתנה בהעתקה למשל, או הכנסת מסורת אחרת.
פרופ' יוסי עופר: "המסורה מוסיפה למקרא מידע חיצוני בעיקר בעזרת מספרים, כשהיא מציינת שמילה מסוימת נזכרת איקס פעמים, או נכתבת בכתיב מלא כך וכך פעמים. המידע העודף הזה נועד 'לאבטח' את נוסח המקרא, אבל בניגוד לתשדורת אלקטרונית, כאן לא מדובר רק על נוסח מקורי אחד שצריך להגיע ליעד, אלא יש צורך להתגונן מפני מקורות שונים"
"בואי נשווה את המסורה למנגנון הגנה אחר: בתעודת הזהות שלנו יש ספרת ביקורת שנועדה לזהות שגיאות. הספרה הזאת נקבעת באופן שמכוון לזהות טעויות אנוש שכיחות, כמו למשל החלפת שתי ספרות סמוכות – במקום 78 אדם יקיש 87. היא לא מגינה מפני כל טעות אקראית, אלא מתמקדת בטעות מסוימת שרוצים להתמודד איתה (אם למשל יוחלפו שתי ספרות מרוחקות יותר זו מזו, ספרת הביקורת לא בהכרח "תתריע" על הטעות – י"א). לזה מנגנון ההגנה מתוכנן. גם המסורה מתייחסת לטעות אנוש שכיחה – למשל, במקומות מסוימים עלולים להוסיף ו' לפני המילה 'כל' או 'אם'. סביר שטעות כזו תקרה, ולכן המסורה משקיעה הרבה משאבים כדי למנוע אותה. מנגנוני ההגנה שמים דגש על נקודות תורפה".
במאמר מציינים עופר ולובוצקי גם מנגנון הגנה קדום שכשל. במסכת קידושין מסופר על פעילות שנועדה להגן על הטקסט המקראי משגיאות: "לפיכך נקראו ראשונים סופרים, שהיו סופרים כל האותיות שבתורה. שהיו אומרים: וא"ו ד'גחון' חציין של אותיות של ספר תורה". כלומר, מניין האותיות שימש כמנגנון הגנה, ובנוסף לכך האות ו' במילה גחון (ויקרא, י"א מ"ב) צוינה כסמן לנוסח האחיד והמדויק, כיוון שהיא אמורה להימצא בדיוק באמצע. אותיות כמו י', ו' ולפעמים ה' יכולות להשתרבב לטקסט גם בלי לפגום במשמעות, אך במקרה כזה, מניין האותיות בספר התורה יהיה אחר וסביר להניח שקו האמצע יזוז. אלא שכבר בימי הגמרא התגלו בעיות בשימוש בנתונים האלה, ואם לקפוץ לשורה התחתונה של דיוני האמוראים וגאוני בבל, האות הנזכרת כבר אינה האות האמצעית. גם מניין האותיות היה מבוסס ככל הנראה על נוסח שונה מזה שהתקבל בסופו של דבר בטבריה ובבבל.
מי שכן הצליח לייצר מנגנון הגנה חזק מאוד, קובעים לובוצקי ועופר, היה הרמב"ם: בהלכות ספר תורה הוא מנה את הפרשיות הסתומות והפתוחות, והצליח ליצור בנושא הזה מסורת אחידה שהתקבעה בקהילות ישראל. "הצלחתו נבעה לא רק ממשקלו וממעמדו בעולם היהודי אלא גם – ואולי בעיקר – משיטת תיקון השגיאות המוצלחת שהפעיל ברשימותיו", נכתב במאמר.
עוד לפני הרמב"ם היו מי שחיברו רשימות כאלה, אבל הם לא הצליחו להטמיע אותן, כיוון שהמנגנון לא היה מספיק יעיל וברשימות עצמן חלו שיבושים. הרמב"ם יצר את הפירוט שלו על בסיס כתר ארם צובא, ועיצב שיטה חדשה לאבטחת המידע. בסוף כל רשימה המפרטת רצף של פרשיות פתוחות או סתומות, הוא לא רק ציין את הסוג שלהן, אלא הוסיף סיכום מספרי – "אחת עשרה פרשיות אלה כולן סתומות", "כולן פתוחות והן שבע פרשיות", וכן הלאה. כך, מי שהעתיק את הרשימות או קיבל רשימה כתובה כזו זיהה מיד אם חלה טעות.
מנגנון האבטחה נוסף היה סיכום של כל אחד מחומשי התורה – למשל, "מניין הפתוחות שלוש וארבעים, והסתומות שמונה וארבעים, הכל אחד ותשעים פרשיות" – וכן סיכום מספרי של פרשיות ספר התורה כולו. ושוב, ניתן להשוות בין המספר לבין הטקסט, ולגלות אם דרוש תיקון. בכמה מקומות יש מחלוקת בנוגע לרשימותיו של הרמב"ם, אבל מסורת הפרשיות שלו היא שהשתרשה, והדבר קרה במידה רבה בזכות חוזקם של המנגנונים.
איך אתה מסכם את הגיחה שלך לעולמות המתמטיקה, שנים רבות אחרי שעזבת את התחום הזה? אני שואלת את עופר לסיום. "תראי, לא הייתה פה מתמטיקה עמוקה מדי, אבל כיוון החשיבה המתמטי בהחלט פתח תובנות חשובות. בעזרתו הגענו להבנה שהיו מנגנונים חלשים ובלתי יעילים, ומנגנונים חזקים שהצליחו. גם בלי לחזור להיות מתמטיקאי, כל זה שינה וחידד את התפיסות שלי לגבי המסורה".
לתגובות: dyokan@makorrishon.co.il
