בעקבות הפרדוקסים הבלתי פתורים האם תפתור הפילוסופיה את הקושיה הקשה מכל, קושיית היש האחד של פרמנידס? יובל שטייניץ 16/05/02 אכילס "קל הרגליים" נחשב למהיר בין גיבוריה המיתולוגיים של יוון העתיקה. הצב נחשב לסמל האיטיות. הפילוסוף היווני זינון נחשב, מאז ולתמיד, לאלוף הפרדוקסים וניסויי החשיבה.נניח, הציע זינון, שאכילס והצב יערכו ביניהם תחרות ריצה למאה מטר. ונניח, בנוסף, שאכילס הנדיב יעניק לצב מקדמה של עשרה מטרים. מי ינצח בתחרות?כל אדם בר דעת יהמר ללא היסוס על זכייתו של אכילס (בהנחה שהשופטים אינם נוטלים שוחד). אחרי הכל, הניסיון היומיומי מצביע על כך שהמהירים משיגים לבסוף את האיטיים. חישוב פשוט גם יראה, שאם מהירותו של אכילס היא עשרה מטרים לשנייה, כמו טובי האצנים של היום, ומהירותו של הצב מטר אחד לשנייה (המדובר בצב ספורטיבי), אכילס יחצה את קו הגמר לאחר עשר שניות, כאשר הצב יתייצב באותו הזמן על קו 20 המטרים.ולחדשות הרעות: כבר לפני 2,500 שנה הוכיח זינון שנצחונו הוודאי לכאורה של אכילס הוא פשוט בלתי אפשרי.כדי לנצח את הצב, הסביר זינון, צריך בראש ובראשונה להדביק אותו. וכדי להדביק אותו, צריך לסגור את הפער. ואולם בכל פעם שאכילס יעבור את המרחק שנותר בינו ובין הצב, יפתח הצב המזדחל פער חדש, קטן ב עשירית מהקודם, וחוזר חלילה. וכיוון שהעשירית של כל גודל ממשי היא עדיין גודל ממשי (השערורייה המתמטית של "גדלים שואפים לאפס", כלומר גדלים שהם אפס ולא אפס גם יחד, עוד לא יצאה מהארון) יוצא שלעולם ייוותר בין השניים פער ממשי קטנטן.ניתן להציג זאת קצת אחרת: הדבקה מחייבת שיהיה איזה שהוא פער אחרון על באמת, שסגירתו לא תוביל להיווצרותו של פער אחרון נוסף. ואולם מהנחת רציפות התנועה של שני המתחרים עולה, כי למרות יכולתו המצוינת של אכילס לסגור סדרה של פערים הולכים ומצטמקים, אין ביכולתו לאפס או לסגור איזשהו "פער אחרון" קונקרטי באופן שימנע מהצב העקשן ליצור בינתיים פער ממשי נוסף שגודלו כעשירית מזה שנסגר.אבל אם אין פער אחרון, אין הדבקה. ואם אין הדבקה, אין עקיפה. ואם אין עקיפה אין ניצחון, ואכילס המסכן נידון לכישלון.האם יש לפרדוקס פתרון?אם אין לפרדוקס הזה פתרון, ההשלכות חמורות. כי מהפרדוקס עולה שהתנועה היחסית שבאמצעותה מדביק הגוף המהיר את האיטי ממנו היא בלתי אפשרית. ואם כך הוא, אז הפיזיקה, שמטרתה לספק לנו הסבר תבוני של העולם כולל תופעת התנועות היחסיות האחראיות לכל השינויים וההתפתח ויות שבו, נקלעת לצרות צרורות.החדשות הטובות הן, שבכל דור ודור קמים פילוסופים ומדענים ומנסים להתמודד עם פרדוקס אכילס והצב; וכך גם עם פרדוקסים נוספים שנכללו בספר הפרדוקסים של זינון, כולל השניים שיוצגו בהמשך.כך, למשל, בתחילת המאה ה­20 פרסם הפילוסוף ברטרנד ראסל מאמר בשם "המתמטיקה והמטאפיזיקאים" (1918), ובו הכריז בקול תרועה שהנה, לאחר 2,400 שנה של חוסר אונים, מתאפשר לנו סוף­סוף לפתור את הפרדוקסים בזכות הענף המתמטי החדש המכונה "תורת הקבוצות". "אכילס", חשבו לעצמם מקצת מהפילוסופים ומהפיזיקאים ונשמו לרווחה, "יוכל סוף­סוף לנצח", וכולנו נשתחרר מהסיוט הארוך.החדשות הרעות הן, שראסל חזר בו מהפתרון כ­40 שנה מאוחר יותר.עדות טובה לגבי מידת ההצלחה של אינספור הפתרונות שהוצעו לפרדוקסים במהלך השנים טמונה בעובדה שלפני כחמש שנים התפרסם שוב, בקול תרועת ניצחון, "הפתרון המתמטי הראשון לאחר 2,500 שנה" לפרדוקסים, והפעם בכתב העת המדעי הנודע "סיינטיפיק אמריקן". ואולם השמחה נמשכה בדיוק עד הגיליון הבא של ה"סיינטיפיק אמריקן".הבעיה של כל הפתרונות המתמטיים שהם מתיימרים לספק תיאור מתמטי לנס של סגירת הפערים, ואף מצביעים על מיקומה של נקודת הסגירה או ההדבקה בקורדינטות של זמן ומרחב, בלא שהם מורים על שום טעות קונקרטית בדרך ההסתכלות המיוחדת, אך הלגיטימית, שהוצעה על ידי זינון.אולם שום פרדוקס אינו יכול להיפתר על ידי הצגת תיאור אלטרנטיבי בלבד, ואפילו אם תחת התיאור הזה הבעייתיות מתפוגגת ונעלמת. כי כאשר שני תיאורים או תחשיבים סבירים מגיעים לתוצאות הפוכות, זוהי בדיוק תחילתו (ולא סיומו) של כל פרדוקס. הדיכוטומיה והחץ פרדוקסים חשובים נוספים ששרדו מספר הפרדוקסים האבוד של זינון הם פרדוקס הדיכוטומיה ופרדוקס החץ, העוסקים אף הם בהפרכת התנועה.פרדוקס הדיכוטומיה (מילה שפירושה חלוקה לשניים), מבטל לא רק את התנועה היחסית המאפשרת לגוף המהיר להשיג את האיטי ממנו, כי אם את אפשרות התנועה בכלל. כעת נוכיח, בוודאי התבדח זינון, מדוע אכילס, כמו כל גוף אחר, אינו יכול אפילו להתחיל במרוץ.הפרדוקס נפתח בשאלה: מהי תנועה?"תנועה", עונה זינון, פירושה מעבר מרחק ממשי במרחב, נניח בין שתי הנקודות A B­ו. אולם על מנת לעבור את המרחק הנתון B­A, שומה על האובייקט הנע לעבור תחילה את מחציתו של המרחק, ולשם כך עליו להגיע לאמצע המסלול לנקודה C. ושוב: כדי לעבור מנקודה A C­ל צריך האובייקט הנע, ראשית לכל, לעבור את מחצית המרחק C­A, ולשם כך עליו להגיע לנקודה D, וחוזר חלילה.מסקנה: אכילס לא יוכל לעבור מרחק ממשי שלם כלשהו, נניח 1, מכיוון שלצורך כך עליו להקדים ולעבור סדרה אינסופית של מחציות של מחציות המרחק: 1 ­ 1/2 ­ 1/4 ­ 1/8 ­ 1/16... מדובר בסדרה שיש לה איבר אחרון, 1, אבל אין לה איבר ראשון, ולפיכך אין לה, ולתנועה, ה תחלה.אפשר להציג זאת קצת אחרת. מוסכם על הכל שכדי לסיים תנועה כלשהי יש להתחילה. השאלה שמעלה פרדוקס הדיכוטומיה היא: התחלת התנועה, כיצד היא מן האפשר?המרחק הראשוני הממשי בכל סדרה של תנועות, חייב להיות גדול מאפס אך קטן מכל מרחק אחר, ודבר זה אינו אפשרי כפי שתוכיח הדילמה הבאה. כל מרחק הוא גדול מאפס או שווה לאפס. ואם הוא גדול מאפס, אזי ניתן לחלקו לשני חלקים קטנים יותר. לפיכך הוא ממשי אבל איננו "קטן מכל מרחק אחר" ואיננו ראשוני. ואם הוא שווה לאפס, אזי לא ניתן לחלקו לקטעים קטנים יותר, ולפיכך הוא ראשוני, אבל אינו ממשי.מסקנה: התנועה אינה אפשרית כי אין לה התחלה ממשית.הפרדוקס הבא, המכונה פרדוקס החץ, תוקף את מושג התנועה מזווית קצת אחרת.אין חולק על כך, אומר זינון, שהחץ העף הנמצא בתנועה נמצא בכל רגע ורגע של מעופו ואינו נעלם. ובהיותו נמצא הוא נמצא תמיד במקום מסוים ומוגדר. ואולם מה שנמצא במקום מסוים ומוגדר אינו נמצא בתנועה. ואם בכל רגע של מעופו הוא נמצא במקום מסוים ומוגדר, מתי הוא מוצא את הזמן לנוע ולעבור ממקום למקום?ניתן להציג זאת קצת אחרת: "להיות בתנועה" פירושו להיות בי ן שני מקומות מסוימים או יותר. "להיות בנמצא" פירושו להיות במקום מסוים אחד. מכאן שהנע אינו בנמצא והנמצא אינו בתנועה. תמונת העולם היא אשליה לפני שנמשיך, מן הראוי לומר כמה מילים על ההקשר הפילוסופי­היסטורי של הפרדוקסים. הפרדוקסים של זינון לא הומצאו כשעשוע אינטלקטואלי או כחידות היגיון. מטרתם היתה לגבות ולחזק השקפה פילוסופית מיוחדת ומרתקת. זינון היה תלמידו הבכיר של הפילוסוף הדגול פרמנידס, אולם בעוד שזינון נתפש לעתים כאביהן הקדמון של הדיאלקטיקה והגאומטריה, באשר הפרדוקסים שלו הם הדוגמאות המוקדמות ביותר להוכחות דדוקטיביות בכלל ולהוכחות על דרך השלילה בפרט (הוכחות הנפתחות בנוסח: נניח ש...), פרמנידס ראוי דווקא לתואר "אבי המטאפיזיקה והפיזיקה", בהיותו הראשון (ולדעת אחדים גם האחרון) שהציג תורה לוגית­תבונית לגבי טבעו של העולם או היש.פרמנידס טען שתמונת העולם המקובלת הנקלטת בחושינו ­ תמונה שלפיה הננו מתקיימים ושרויים בעולם עשיר ומגוון המכיל ריבוי אינסופי כמעט של עצמים הנבדלים זה מזה בתכונותיהם הרבות והנעים ללא הרף הנה והנה תוך כדי תהליכים אינסופיים של השתנות, של הרס ויצירה, של התהוות וכיליון ­ תמונה זו איננה אלא אשליה.על פי פרמנידס, כאשר בוחנים את העולם או היש בקפידה הלוגית הראויה, כלומר בודקים אילו דברים הם ב גדר האפשר (כלומר דברים שאינם מכילים סתירות) ואילו דברים אינם בגדר האפשר (כלומר, דברים המכילים סתירות), מגלים, כי הריבוי, התנועה והשינוי מכילים סתירות לוגיות מעצם מהותם, ולפיכך הם בלתי אפשריים מכל וכל.בהיותו פילוסוף עשוי ללא חת, העדיף פרמנידס את האידאולוגיה על הפרקטיקה, ונהג בבחינת "ייקוב ההיגיון את ההר". לפיכך לא נרתע מלפסול את קיומם של הריבוי, התנועה והשינוי בתורתו, ולדבוק במסקנה האחת והיחידה שנותרה לו, מסקנה שהיא ההגיונית ביותר והמטורפת ביותר בעת ובעונה אחת: שהעולם האמיתי הוא היש האחד, והבלתי משתנה.אפלטון, שתורת האידאות שלו נועדה בראש ובראשונה להציע פתרונות לקשיים החמורים שנבעו מהגותם של פרמנידס ושל זינון, מתאר בכתביו ביקור שערכו השניים בעיר אתונה, ושבמהלכו עמד סוקרטס על הזיקה ההדוקה שבין תורותיהם והתפעל מטיעוניהם:"נמצאתי למד, פרמנידס", אמר סוקרטס, "שגם בספר הזה (ספר הפרדוקסים) מבקש זינון להשתייך אליך, והוא סימן נוסף לאותה ידידות שהוא רוחש לך מכל הבחינות... הרי אתה טוען בשירך שהכל אחד, והבאת על כך ראיות נאות וטובות, והלה בא ואומר שאין ריבוי, ומביא אף הוא ראיו ת רבות וחשובות מאוד לטענה זו. אחד מכם אומר שהכל אחד, והשני ­ שאין ריבוי, ואילו שניכם מנסחים את טענותיכם בדרך שלא ייראה בהן כל צד משותף, אף ששניכם טוענים כמעט לאותו הדבר גופו ­ ומתוך כך נדמה לנו שהדברים שנאמרו בפיכם הם למעלה מהשגתנו". היש האחד הפילוסופיה של פרמנידס מבוססת אך ורק על שני חוקי היסוד האלמנטריים ביותר של הלוגיקה: חוק הזהות, הקובע שכל דבר זהה לעצמו, וחוק הסתירה, הקובע שסתירות, דהיינו דבר ושלילתו, אינן ממין האפשר.כיוון שהעולם הוא כל מה שישנו, ולפיכך הוא שקול ליש, אמר פרמנידס, אזי על מנת להבינו מן הראוי לבחון את מעמדו הלוגי של היש באמצעות שני החוקים שלעיל. הדבר הראשון והיחיד שניתן לומר על היש הוא ש"היש ישנו", שכן דבר זה שקול למשפט הזהות של A הוא A; ובהקבלה, הדבר היחיד שניתן להגיד על האין הוא ש"האין איננו". דיבורים אחרים כלשהם על "יש שאיננו", או על "אין שישנו", מכילים כמובן סתירות, באשר הם כורכים יחדיו דבר מה (היש) עם שלילתו (האין), ולפיכך הם מופרכים מכל וכל.הצרה היא שברגע שהסכמנו לטענות הברורות מאליהן, שהחלת היש על האין, או האין על היש, פירושה סתירה, נפל הפור. כי טענות הפתיחה הצנועות כל כך, והמובנות כמעט מאליהן, של פרמנידס, מובילות כעת בכמה מהלכים מהירים לשחמט, דהיינו, למסקנות מרחיקות לכת המחסלות את עולם התופעות והמכילות השלכות הרות גורל לגבי כל הפילוסופיה והמדע.למשל: היש הוא אחיד ומל א ואין בו חללים או ריק.כי אם היה בעולם ריק, כלומר מקום שאינו תפוס על ידי היש, אזי היינו צריכים לומר שבאותו המקום "היש איננו" או לחלופין שבאותו המקום "האין ישנו". ואולם כבר קבענו למעלה שהצירופים ההופכיים "אין יש" ו"יש אין" מכילים סתירות, ולפיכך הם בלתי אפשריים בעליל גם כשמצמצמים את תחולתם במקום או בזמן. כי אם הביטוי "יש אין" מכיל סתירה, אותו הדין גם לגבי הביטוי "יש אין במקום מסוים" הכולל אותו. מסקנה: היש ממלא את העולם עד אפס מקום, וכל היעדרות, רווח, או ריק, אינם אלא אשליה.אבל בדיוק כפי שאי אפשר לשלול את קיומו של היש החומרי במקום מסוים או בזמן מסוים, כך גם לא ניתן לשלול את קיומה של תכונה ממשית כלשהי באובייקט מסוים. כי כל תכונה היא בגדר יש או בגדר אין. ואם היא בגדר אין, אזי אינה תכונה ממשית. ואם היא בגדר יש, אזי לא ניתן לומר עליה שהיא איננה, שכן הדבר כרוך בהיגד סתירתי כגון "היש איננו, במקום או באובייקט מסוים". מכאן שמבחינה לוגית לא ניתן לשלול את קיומה של תכונה כלשהי במקום מסוים או באובייקט מסוים.התוצאה היא שכל תכונה ממשית המתקיימת באובייקט כלשהו, מתקיימת גם בכל שא ר האובייקטים. ולפיכך נוצרת זהות תכונות בין כל האובייקטים.אלא שכעת בא חוק הזהות במתכונתו המודרנית, כפי שניסחו הפילוסוף והמתמטיקאי הגרמני וילהלם ליבניץ, ומורנו: ששני דברים הזהים בכל תכונותיהם אינם אלא אחד. ומאחר שזה עתה גילינו שכל הדברים בעולם זהים בכל תכונותיהם ­ שכן לעולם אינך יכול לשלול מאובייקט A תכונה ממשית המיוחסת לאובייקט B, יוצא שכל העולם כולו אובייקט אחד בלבד. להציל את התופעות היש האחד של פרמנידס יחד עם הפרדוקסים של זינון הן מהתורות העקרות ביותר והפוריות ביותר בהיסטוריה של הפילוסופיה והמדע.עקרות, מכיוון שעם כל עוצמתן הלוגית, הן לא הסבירו את התופעות, כלומר את העולם העשיר, המגוון, והמשתנה תדירות, המופיע לנגד עינינו (ולמעשה אף לא התיימרו להסבירן). פרמנידס וזינון פשוט טענו שהתופעות הן "בלתי הגיוניות", ולפיכך ייטיב המדע לעשות אם יתעלם מהתופעות, יזנח את התצפיות בהןויתרכז בחקר לוגי­פילוסופי של העולם האמיתי, הלוא הוא היש האחד.פוריות, מכיוון שהשערורייה שפרצה בעקבותיהן ברחבי העולם היווני העתיק הובילה מיד לתנועה נגדית שססמתה היתה "להציל את התופעות", דהיינו למצוא פשרה מניחה את הדעת, שתאפשר לתופעות לדור בכפיפה אחת עם לפחות חלק מהמסקנות הלוגיות המחמירות שגזרו פרמנידס וזינון.למעשה, התנועה להצלת התופעות מהגזרות הלוגיות הקשות שגזרו פרמנידס וזינון נמשכת עד ימינו אלה, וקשה בכלל להעלות על הדעת תורות שתרמו יותר להתפתחות הפילוסופיה והמדע ב­2,500 השנים שחלפו מאזפרמנידס וזינון. היסטוריונים רבים של המדע רואים את כל תולדות המדע כמאמץ "להציל את התופעות" , דהיינו, מאמץ להסביר כיצד התופעות, הריבוי, והשינוי, הן אפשריות לוגית, וכיצד ניתן אולי להסבירן על ידי חיבורן לאיזשהו בסיס של מציאות לוגית­תבונית הנסתרת מן העין, מציאות אחידה ובלתי משתנה הדומה לעולמו של פרמנידס.כך, למשל, שתי ההשקפות הפיזיקליות היסודיות ביותר בדבר טיבו של החומר העומדות בלבו של הוויכוח המדעי עד היום ­ תורת האטומים מחד ותורת הרציפות שכונתה אז בשם "תורת ארבעת היסודות" מאידך ­ פותחו ביוון העתיקה בניסיון גלוי ומוצהר למצוא פשרה כלשהי בין שני הקצוות. בין קביעתו הלוגית של פרמנידס בדבר היותו של העולם אחיד ובלתי משתנה מחד, ובין הריבוי, ההשתנות והתנועה בעולם התופעות מאידך.תורת האטומים של דמוקריטוס, שאת המשכה ניתן למצוא בפיזיקה של דקארט ושל ניוטון בעת המודרנית, ניסתה (ועדיין מנסה) להסביר את העולם המשתנה בהסתמך על חלקיקים ראשוניים שהם בלתי מתחלקים ובלתי משתנים. חלקיקים שכל אחד מהם דומה בפני עצמו ליש האחד של פרמנידס. רוצה לומר: לפנינו ניסיון להעמיד את התופעות המגוונות על בסיס של ישים אחידים וקבועים.תורת ארבעת היסודות של אמפדוקלס, שפותחה בהמשך על ידי אריסטו, היא תורת הרצף הבסיסית, המנסה להסביר את העולם על ידי אימוץ רעיון הרציפות וחוסר הריק של פרמנידס. פיזיקה זו שלטה ללא מצרים בעולם במהלך ימי הביניים, עד שהוכרעה זמנית במאה ה­17 על ידי דקארט וניוטון.גם הרעיון, המוזר לכאורה, בדבר קיומם של חוקי טבע אוניברסליים, או אידאות, פותח על ידי אפלטון במאמץ דומה לאחד את השינוי עם הבלתי משתנה: העולם המשתנה, כולל השינויים עצמם, נשלט ומוסבר על ידי רובד יציב וקבוע של חוקי טבע ומתמטיקה אוניברסליים.הפילוסופים ברקלי וליבניץ, כל אחד לשיטתו, ניסו להשתחרר מהקשיים שהציבו פרמנידס וזינון בדרך רדיקלית: הם המציאו תאוריות המבטלות את קיומו של העולם החומרי, בקבלם את הטענה הבסיסית שריבוי החומר ותנועתו אינם בגדר האפשר. במקום זה הציעו להניח שהעולם מורכב מנפשות או מרוחות, וכל השינויים המתרחשים בו אינם אלא שינויים במחשבותינו. אכילס לא משיג את הצב ומאום לא רץ ולא זז. הדבר היחידי שמשתנה באמת, אמרו ברקלי וליבניץ, הם חילופי הרשמים בתודעתנו.אפילו את המצאת החשבון האינפיניטיסמלי על ידי ניוטון וליבניץ ניתן לזקוף במידה מסוימת לטובתה או לחובתה של תורת פרמנידס ועוד יותר מכך לפרדוקסים של זינון. חשבון זה, העוסק בגדלים השואפים אל האפס ­ גדלים שהם גדולים מאפס אבל קטנים מכל ממשות ­ נועד למעשה להמציא פתרון לקשיים שמערימים הפרדוקסים של זינון ולאפשר לפחות גישור מתמטי בין מנוחה לתנועה.ועם כל חשיבותן של התורות שלעיל, מן הראוי לחתום את הדיון בדבריו של הפילוסוף זאב בכלר, מתוך ספרו (המצוין) "שלוש מהפכות קופרניקניות":"הפרדוקסים של זינון לא נפתרו עד ימינו. היום נמצא להם פתרון מסוים (בעזרת המתמטיקה הקרויה "לא סטנדרטית"), אך אפשר לומר כבר כאן שזינון היה מעדיף להישאר עם הפרדוקסים מאשר לקבל את הפתרון הזה. זינון היה טוען שהמתמטיקה הפותרת אותם עוסקת ביצורים 'אינפיניטיסמלים', שהם גדלים סתירתיים בפני עצמם, מכיוון שהם גדלים הקטנים מכל מספר אפשרי אך גדולים מאפס... זינון היה טוען, מן הסתם, שהוא איננו רואה מה הרווח בהנחת סתירות חדשות כדי לפתור ישנות".