ראשי > ניו אייג' > פותחים ראש > כתבה
בארכיון האתר
הסדר שבכאוס
פרקטל הוא צורה שנשארת דומה לעצמה גם כשמתבוננים מקרוב בקטע קטן ממנה. ד"ר יואב בן דב מוצא את הקשר בין הגיאומטריה הפרקטלית לאסתטיקה של התרבות ההודית
לכתבה הקודמת דפדף בניו אייג' לכתבה הבאה
ד''ר יואב בן דב
1/11/2004 9:34
"הטאו של הפיזיקה", ספרו של פריטיוף קאפרה שיצא לאור באמצע שנות השבעים ותורגם מאז לעשרות שפות כולל עברית, היה הראשון בשורה של ספרים שניסו למצוא הקבלות בין חידושי המדע המערבי לבין תכנים וסמלים מתרבויות מזרחיות. רוב כותבי הספרים הנ"ל התעניינו במיוחד בתורת הקוונטים, שהפכה בתחילת המאה העשרים לתיאוריה המרכזית של הפיזיקה. מאחר ותורת הקוונטים אכן מנוגדת במובנים רבים לכמה מדרכי החשיבה שהיו מקובלות במדע המערבי לפני כן, הניחו אותם כותבים שאולי במאגרי המושגים של תרבויות כמו סין והודו ניתן יהיה למצוא רעיונות והרגלי חשיבה שיתאימו לה יותר.
 
אבל תורת הקוונטים איננה התורה המדעית היחידה של ימינו, שעומדת בניגוד לדרכי החשיבה ששלטו במדע המערבי של המאות הקודמות. משנות השישים ואילך, בעקבות מפגש של רעיונות מתימטיים חריגים מתחילת המאה והשימוש
במחשבים לצורכי מחקר, התפתחו תחומי מדע חדשים החוצים את גבולות ההתמחויות המדעיות המקובלות, כמו למשל תורת הכאוס ותורת המורכבות. בדומה לתורת הקוונטים, גם התחומים החדשים האלה מתארים מציאות שאיננה מוגדרת לעולם באופן מוחלט וסופי, ושאי הוודאות והלא צפוי תמיד נוכחים בה. בכך הם חורגים מהמסגרות הישנות של המדע המערבי, ששאף להגיע לתיאור סופי ומוחלט של המציאות שבו לא יהיה שום מקום לאי ודאות.
 
האם אפשר למצוא קשרים והקבלות של תרבויות המזרח לא רק עם תורת הקוונטים, אלא גם עם מדעים חדשים אלה? במאמר זה נעסוק באחד מענפי המחקר שלהם, התורה הגיאומטרית של הפרקטלים. כפי שנראה, אכן ניתן למצוא דמיון רב בין תכונותיהן של הצורות שהגיאומטריה הזו מתארת לבין מאפיינים בולטים באמנות, במיתוסים ובתמונת העולם של הודו. לפני זה ננסה להבין מהו פרקטל?
החמקמקות של קווי הגבול
את המונח "פרקטל" המציא המתימטיקאי הצרפתי בנואה מנדלברוט באמצע שנות השבעים. אבל רעיונות דומים עלו כבר לפני כן, למשל בעבודותיו של חוקר רב תחומי ותמהוני במקצת בשם לואיס פריי ריצ'רדסון, שפעל במחצית הראשונה של המאה. ריצ'רדסון בדק את אורך קו הגבול בין ספרד לפורטוגל, ומצא שיש לו שני ערכים שונים: אורך קו הגבול מהצד הפורטוגזי גדול בכחמישית מאורך קו הגבול מהצד הספרדי.
 
איך זה יכול להיות? מפני שהמושג "אורך קו הגבול" הוא חמקני במקצת. קו הגבול עובר לעתים קרובות בתוואי טבעי, כמו לדוגמה על קו פרשת המים של רכס הרים. כדי למדוד אורך של קו כזה צריך לקחת סרגל, להניח אותו על קטעים שונים של הקו בזה אחר זה, ואז לחבר יחדיו את האורכים של כל  הקטעים. לכאורה, התוצאה של מדידה כזו צריכה להיות משהו מוגדר וקבוע. אבל בפועל, קו פרשת המים הוא מסובך מאוד. אם מתבוננים בו מרחוק, כמו למשל בתצלום לוויין, ניתן לראות אותו מתפתל בין רכסי ההרים הגדולים. אבל בתצלום קרוב יותר אפשר להבחין גם בפיתולים ובעיקולים בין ההרים הבודדים. יותר מקרוב אפשר לראות אותו מתעקל סביב כל עמק, פלג מים או גוש סלעים. יותר מקרוב נבחין גם בפיתולים סביב הסלעים הבודדים, ובסופו של דבר קו פרשת המים יכול להתפתל בין גרגירי חול בודדים, או סביב שקערוריות זערערות באבן שגם בהן יש עוד נקבוביות ומחילות.
 
כאשר מודדים בסרגל את המרחק בין שתי נקודות, מודדים בעצם את אורכו של קטע ישר העובר ביניהן. אבל בפועל, קו פרשת המים לעולם איננו עובר בין שתי נקודות בקו ישר, אלא מתפתל גם ביניהן. לפיכך, כאשר מודדים קו כזה באמצעות חיבור של קטעים ישרים, האורך שנמדד הוא קטן מהאורך האמיתי, משום שהפיתולים הנוספים בין נקודות המדידה לא נלקחו בחשבון. אפשר להשתמש בסרגל קטן יותר, ואם מודדים על מפה, אפשר להשתמש במפה המשורטטת בקנה מידה מוגדל. במקרה כזה, נוכל לעקוב אחרי יותר פיתולים, ולכן האורך שנמדוד יהיה גדול יותר. אבל ככל שנקטין את הסרגל או נגדיל את קנה המידה, תמיד יהיו פיתולים קטנים עוד יותר שיחמקו מאיתנו, ולכן האורך האמיתי תמיד יהיה עוד יותר גדול מכל מה שנצליח למדוד.
 
בעצם, האורך האמיתי של קו פרשת המים הוא אינסופי, או אולי יותר נכון להגיד, המושג של אורך אמיתי הוא חסר משמעות עבורו. ככל שנתבונן בו יותר מקרוב, נראה בו עוד ועוד פרטים ולכן אורכו הכללי ילך ויגדל. זה בדיוק מה שקרה לקו הגבול בין ספרד ופורטוגל. מכיוון ששטחה של פורטוגל קטן מזה של ספרד, המפות הרשמיות שלה שורטטו בקנה מידה גדול יותר, כלומר הופיעו בהן יותר פיתולים ועיקולים של תוואי שטח. זו הסיבה לכך שבמפות הפורטוגזיות נמדד קו גבול ארוך יותר מאשר במפות הספרדיות.
חופים, מפרצים ודמיון עצמי
מנדלברוט, שעבד במעבדות חברת המחשבים IBM בארה"ב, הבין שיש כאן יותר מאשר קוריוז. בעצם, כמעט כל צורת נוף טבעית מתנהגת כך: ככל שמתבוננים בה יותר מקרוב, רואים בה עוד ועוד פיתולים, שקעים וגבשושיות. נחשוב לדוגמה על קו חוף מפורץ בפיורדים של נורבגיה. כמו קו פרשת המים, גם כאן אין טעם לשאול מהו האורך הכולל של קו החוף. קו החוף מלא מפרצים ומפרצונים בכל סקאלות הגודל, ולכן ככל שנמדוד ביחידת מידה קטנה יותר, נקבל אורך גדול יותר. אבל אפשר לשאול שאלה אחרת: עד כמה קו החוף הוא מפורץ ובמה קו החוף המפורץ מאוד של נורבגיה שונה למשל מהקו החלק יחסית של חוף הים בישראל?
 
כפי שמנדלברוט הבין, ההבדל בין קווי החוף של נורבגיה ושל ישראל איננו תלוי בסקאלת הגודל שבה מתבוננים בחוף. אם נתבונן בקו החוף של נורבגיה בתצלום לוויין ניתן יהיה לראות קו מאוד מפותל ומפורץ. כשמתקרבים קצת יותר, למשל מנקודת המבט של מטוס, ניתן לראות יותר פרטים, אבל הקו עדיין מאוד מפותל ומפורץ. כשמתקרבים עוד יותר - מגובה של מאה מטר, או מטר, ואפילו במבט מקרוב - ניתן לראות בכל פעם פיתולים ומפרצים חדשים, אבל הצורה הכללית של הקו נשארת אותה צורה: במבט מקרוב רואים פחות או יותר את אותה מידה של פיתולים ומפרצים כמו במבט מרחוק. כאן טמון ההבדל בין שני קווי החוף: קו החוף הנורבגי מפותל מאוד גם במבט מרחוק וגם מקרוב, וקו החוף של ישראל הוא קו חלק יחסית גם במבט מרחוק וגם מקרוב. כביכול, שני קווי החוף עשויים מתבנית אחת החוזרת על עצמה בכל סקאלות הגודל, והתבנית הזאת היא יותר מפורצת בחוף הנורבגי מאשר בחוף הישראלי.
 
מנדלברוט הבין שזו התכונה החשובה של קווי חוף ושל צורות טבעיות דומות. כל קטע של קו החוף דומה בצורתו לקו השלם, ואם קו החוף השלם נראה מאוד מפורץ במבט מרחוק, אזי גם הקטעים שלו יהיו מאוד מפורצים במבט מקרוב. במילים אחרות, ככל שמתבוננים יותר מקרוב ניתן לראות עוד ועוד פרטים, אבל הצורה הכללית איננה משתנה. התכונה הזאת, לפיה כל חלק דומה לצורה השלמה, נקראת בשם "דמיון עצמי". מבין הצורות שהגיאומטריה המערבית המסורתית טיפלה בהן, רק הקו הישר הוא צורה שיש לה דמיון עצמי: אם מתבוננים בקטע קטן של קו ישר, הקטע גם הוא ישר. לעומת זאת, אם מתבוננים מקרוב בקטע קטן מאוד של מעגל או אליפסה, הרי שהקטע הזה איננו בעצמו מעגל או אליפסה, ובעצם הוא קרוב בצורתו לקטע ישר.
 
הגיאומטריה המערבית המסורתית איננה מכירה צורות בעלות דמיון עצמי שאינן קווים ישרים. לפיכך, כדי לתאר צורה כמו קו החוף צריך להרחיב את המושגים שלה. הגיאומטריה הזאת מדברת רק על צורות שיש להן מספר שלם של מימדים. לקו גיאומטרי למשל יש רק אורך, כלומר מימד אחד, ולרצועת שטח יש גם אורך וגם רוחב, כלומר שני מימדים. אבל לקו החוף יש יותר מאשר סתם אורך: כפי שראינו, כאשר מנסים למדוד אותו, מקבלים אורך אינסופי. מצד שני, כאשר הקו הוא מאוד מפורץ, אזי הוא מתפתל בצפיפות על פני רצועת שטח, ולכן כמעט שאפשר לומר שיש לו גם רוחב. במילים אחרות, הקו מתנהג כמו משהו שיש לו מספר לא שלם של מימדים, כלומר שבר כלשהו בין 1 ל-2.
מנדלברוט כינה אפוא את הצורות האלה בשם "פרקטלים", מהמילה הלטינית "פרקטוס" המציינת שבר. כפי שהוא הגדיר זאת, פרקטל הוא צורה שאיננה קו ישר ושיש לה את תכונת הדמיון העצמי, כלומר היא נשארת דומה לעצמה גם כאשר מתבוננים מקרוב בקטע קטן שלה.
פרקטל מנדלברוט
ראשי כרובית ושערי מניות
כפי שמנדלברוט הבין, תכונת הדמיון העצמי של הפרקטלים מאפיינת לא רק קווי חוף ופרשות מים, אלא גם הרבה צורות ותופעות אחרות. להסתעפות של מקורות נהר, למשל יש דמיון עצמי. ככל שמתבוננים בנהר יותר מקרוב, רואים יובלים ופלגים קטנים יותר ויותר המתמזגים זה עם זה. גם פני השטח המחוספסים של הר הם פרקטל בעל דמיון עצמי, שמקרוב רואים בו עוד ועוד שקערוריות ובליטות הולכות וקטנות. המכתשים שנוצרו מפגיעות מטאורים על פני הירח הם פרקטלים, עם מכתשים גדולים שעליהם מכתשים קטנים ועליהם מכתשים קטנים עוד יותר, וכן הלאה.
גם עננים הם פרקטלים. כאשר מתבוננים בהם מקרוב, רואים שהם עשויים מסבך של גושי אדים בתוך אוויר צלול. אולם הגושים עצמם אינם מלאים באופן רציף, אלא עשויים מאיים של גושי אדים בתוך אוויר צלול, שהם בעצמם עשויים מאיים קטנים יותר. מערבולות מים הן בעלות צורה פרקטלית, עם מערבולות גדולות העשויות ממערבולות קטנות יותר ויותר. גם פתיתי שלג הם פרקטלים. השלוחות שלהם מתפצלות לשלוחות קטנות יותר, המתפצלות שוב ושוב באותה תבנית דמוית כוכב משושה עד לרמת המולקולות הבודדות.
 
עצים הם פרקטלים שבהם הגזע מסתעף לענפים שהם עצמם מסתעפים שוב ושוב. גם העלים והעלעלים שלהם הם פרקטלים, שהעורקים שלהם ממשיכים ומסתעפים ככל שמסתכלים בהם יותר מקרוב. מערכת כלי הדם בגוף היא פרקטל. העורקים הראשיים מתפצלים לעורקים קטנים וקטנטנים, עד לנימים מיקרוסקופיים. הריאות הן פרקטלים. הן בנויות משקיות גדולות, המכילות שקיות קטנות יותר ויותר. ראשי כרובית הם פרקטלים. כל ראש כרובית עשוי מראשים קטנים יותר, שכל אחד מהם דומה בצורתו לראש הכרובית המקורי, וגם הוא עשוי מראשים עוד יותר קטנים. בעצם, כאשר חושבים על זה, הטבע מלא פרקטלים.
 
אבל פרקטלים מופיעים לא רק בטבע, אלא גם במערכות שהן יצירת אנוש. מנדלברוט גילה למשל שהרעשים בקווי תמסורת אלקטרוניים מתאפיינים גם הם בדמיון עצמי: רעשים חזקים וממושכים שביניהם רעשים קצרים יותר, וביניהם רעשים עוד יותר קצרים, וכן הלאה. אפילו התנודות של שערי המניות בבורסה הן פרקטליות. בבורסה יש תנודות גדולות כמו גיאות או מיתון הנמשכות לפעמים כמה שנים, ושערי המניות עולים ויורדים בתוכן בתנודות קטנות יותר של חודשים ושל שבועות, עד לתנודות יומיות שגם הן מורכבות מתנודות של שעות ולפעמים דקות. כפי שמנדלברוט מצא, בכל סקאלות הגודל האלה יש אותה מידה של טלטלות ושינויי מגמה, ולכן גם לגרף של תנודות השערים בבורסה יש דמיון עצמי.
גם עץ הוא פרקטל
מפלצות ופתיתי שלג
כשלמדתי פיזיקה באוניברסיטה בשנות השבעים, נהגו המורים לומר לנו שלמתימטיקאים יש כל מיני המצאות מוזרות - מעין "מפלצות" שקיומן מנוגד לאינטואיציות הרגילות שלנו. מפלצות כאלה הן למשל קווים שאין בהם שום קטע חלק, אלא כל נקודה שלהם היא נקודת חוד שבה כיוון הקו משתנה באופן לא רציף. כמה מהמפלצות כאלה, שכיום אפשר לראות אותן כדוגמאות מוקדמות של פרקטלים, הומצאו על ידי מתימטיקאים בסביבות תחילת המאה העשרים.
 
פרקטל כזה הוא "פתית השלג" שהמציאה המתימטיקאית אלזה קוך בשנת 1904. פתית השלג של קוך נבנה באופן הבא. לוקחים קו ישר, מוחקים את השליש האמצעי שלו, ובמקומו בונים משולש שווה צלעות. כעת לוקחים כל אחד מארבעת הקטעים הישרים שנוצרו, מוחקים את השליש האמצעי שלו, ובמקומו בונים משולש שווה צלעות. ממשיכים כך שוב ושוב עד אינסוף, והקו שמתקבל הוא העקומה של קוך. אפשר לצרף שלוש עקומות כאלה יחדיו, ואז מתקבלת צורה של מעין מגן דוד מלא בליטות ומפרצים, המזכיר בצורתו פתית שלג.
עוד פרקטל מנדלברוט
אם לא תחשבו במונחים של פרקטלים, לא תראו פרקטלים
העקומה של קוך מורכבת מנקודות חוד בלבד - בעצם, אין בה שום קטע ישר, משום שקטע כזה מיד יוחלף בקטע שבור עם משולש באמצעו. במונחים של מנדלברוט, העקומה הזאת היא פרקטל בעל דמיון עצמי, משום שכאשר מגדילים כל קטע קטן בה, הוא נראה בדיוק כמו הצורה השלמה. דוגמה דומה לגוף בעל צורה פרקטלית מבוססת על רעיון של מתימטיקאי בשם סירפינסקי. זוהי צורה דמוית ספוג הנוצרת מקוביה, שמחלקים אותה לעשרים ושבע קוביות קטנות ומסלקים את שבע האמצעיות מהן, ואז מחלקים כל אחת מהקוביות הנותרות לעשרים ושבע ומסלקים את שבע האמצעיות, וכן הלאה. הגוף שמתקבל בסופו של דבר מלא חורים ונקבים בכל סקאלות הגודל, וכל חלק שלו נראה כמו גירסה מוקטנת של הצורה השלמה.
 
המתימטיקאים שחשבו על צורות כאלה לא יכלו לתאר ולחקור אותן בפירוט, משום שעל הנייר אפשר לצייר רק פרטים בודדים שלהן. אולם למנדלברוט היה כלי מחקר חדש - המחשב המצויד בצג גרפי. על צג המחשב אפשר לא רק לבנות בקלות צורות פרקטליות פשוטות כמו העקומה של קוך, אלא גם לחקור צורות מורכבות הרבה יותר. דוגמה לצורה כזו היא "קבוצת מנדלברוט", שהיא אולי הפרקטל המפורסם ביותר. קבוצת מנדלברוט, הנוצרת באמצעות נוסחה פשוטה ביותר, היא בעצמה מורכבת וסבוכה להפליא. אפשר להגדיל אותה ולשוטט בין הקטעים המוגדלים, ואז לגלות עוד ועוד צורות חדשות ומרהיבות. הצורות האלה לעולם אינן חוזרות על עצמן בדיוק, אולם ככל שמתבוננים בהן בהגדלה יותר ויותר חזקה, תמיד חוזרים ומוצאים בתוכן איזושהי וריאציה של הצורה המקורית.
לפרקטלים הממוחשבים יש כיום שימושים בתחומים מדעיים וטכנולוגיים שונים. למעשה, הגיאומטריה הפרקטלית היא כיום מושג בסיסי בחקר תופעות הכאוס, כמו למשל השינויים הלא צפויים וההפכפכים של מזג האוויר ושל זרמי הים. יש לפרקטלים גם שימושים בטכנולוגיית התוכנה, כמו לדוגמה בשיטות מתקדמות של דחיסת קבצי תמונות. אבל שימוש מעניין במיוחד של הפרקטלים הוא בתחום הגרפיקה הממוחשבת. באמצעות תוכנה המציירת תמונות על פי נוסחאות פרקטליות שמשולבים בהן גורמים אקראיים, אפשר ליצור תמונות של נופים, חופי ים, הרים ועמקים, עננים וסערות גשם, נהרות וצמחים ואף כוכבי לכת שלמים. יתרונן של התמונות הנוצרות בשיטות כאלה הוא שהן נותנות לעין הצופה תחושה יותר "טבעית", בעוד שמשטחים הנוצרים בשיטות אחרות נראים חלקים ומלאכותיים מדי.
 
העובדה שגרפיקה פרקטלית נותנת לעין תחושה טבעית אומרת אולי שהעין שלנו רגילה לראות צורות פרקטליות בטבע. אבל גם אם זה נכון, הרי שעד שנות השבעים, צורות כאלה לא היו חלק ממאגר הרעיונות המקובל במדע המערבי. אפילו המורים במחלקה לפיזיקה שדיברו על המפלצות המתימטיות אמרו לנו התלמידים שכפיזיקאים לעתיד, איננו צריכים לדאוג יותר מדי בעניינן. המתימטיקאים יכולים לתאר לעצמם צורות כאלה, עם כל מיני תכונות שונות ומשונות. אבל הפיזיקאים מתעסקים בטבע, ובטבע אין מפלצות: כל העקומות הן רציפות וחלקות. מנדלברוט וחוקרי הפרקטלים אומרים בעצם את ההפך. כפי שהם טוענים, עקומות חלקות ורציפות קיימות רק בדמיוננו. לאמיתו של דבר, בטבע הכל מלא פרקטלים.
 
עצים, עלים, מכתשים, קווי חוף ועננים אינם דברים חדשים. בני אדם ראו אותם מאז ומעולם, ובכל זאת, עד שנות השבעים איש לא הבחין במבנה הפרקטלי שלהם. כנראה שכדי לראות משהו, צריך לא רק שהוא יהיה מול העיניים, אלא גם שהמושג המתאים יהיה בראש. כל עוד אנשים לא חשבו במונחים של פרקטלים, הם גם לא ראו פרקטלים. רק כיום, בעקבות מה שראינו על צג המחשב, אנו יכולים לחזור ולראות גם את העצים והעננים במבט חדש, ולהבחין בתכונת הדמיון העצמי שלהם. אבל ייתכן שהדברים האלה אמורים רק בצורת החשיבה ובמונחים הגיאומטריים של המדע המערבי המסורתי. אם נבחן את האמנות והמיתוסים שהתפתחו בהודו, אפשר לראות שהם בנויים על פי מתכונת הקרובה מאוד ברוחה למושגים המתימטיים החדשים של פרקטלים ודמיון עצמי.
האופי הפרקטלי של המקדש ההודי
אפשר לקבל המחשה לאופי הפרקטלי של האמנות ההודית כאשר מתקרבים לאחד המקדשים הגדולים בדרום הודו, כמו לדוגמה מקדש האלה מינאקשי במאדוריי שבמדינת טאמיל נאדו. כבר מרחוק אפשר להבחין במגדלי הכניסה בגובה כמה עשרות מטרים - הגופוראמים - שמעל השערים בארבע החומות המקיפות את המקדש. אבל קווי המיתאר של המגדלים האלה נראים מעט מטושטשים. כשמתקרבים אליהם אפשר להבחין שהם מורכבים מבליטות ושקעים גדולים, ומקרוב ניתן לראות בליטות ושקעים נוספים, עם אותה צורה אבל יותר קטנים, וביניהם בליטות ושקעים מוקטנים עוד יותר. המגדלים מעוטרים בשפע עצום של תבליטי דמויות של אלים, דמויות מיתיות, חיות ובני אדם בגודל של כמה מטרים, ביניהן דמויות בגודל עשרות סנטימטרים, ודמויות קטנות עוד יותר ויותר עד לגודל של כסנטימטר. המשטח החיצוני המתקבל מכל השקעים והבליטות והגילופים האלה הוא מפותל ומורכב מאוד. כמו הפרקטלים של מנדלברוט, גם כאן אותן צורות בסיסיות חוזרות על עצמן בסקאלות גודל קטנות והולכות, וגם כאן רואים עוד ועוד פרטים ככל שמתבוננים קרוב יותר.
 
דוגמה נוספת אפשר לראות במקדשים של שושלת ההויסאלה בשתי העיירות השכנות האלביד ובלור שבקרנתקה. במבט מלמעלה הקירות החיצוניים של המקדשים יוצרים צורות דמויות כוכב, אבל אלה אינם כוכבים פשוטים. כל בליטה של הכוכב הראשי עשויה מבליטות קטנות יותר, וביניהן עוד ועוד בליטות קטנות וקטנטנות. בסופו של דבר מתקבל קו שנשבר כמעט בכל מקום, עם חודים גדולים וקטנים וקטנים יותר המזכירים מאוד את פתית השלג של קוך. הקירות האלה מעוטרים בצפיפות בשורות אופקיות של תבליטים המקיפות את כל המקדש, והפרטים שלהן מגולפים בממדים קטנים והולכים עד למילימטרים. כל אלה יוצרים משטח חיצוני מלא בליטות ושקעים בכל סקאלות הגודל, שהוא בעצם יותר ממשטח דו ממדי פשוט כמו מישור חלק, אלא משהו שדומה למין גוף מפורץ ומחורר, בעל איכות ספוגית כמו הקובייה של סירפינסקי.
מקדש בתוך מקדש בתוך מקדש
דמיון עצמי אפשר למצוא לא רק באיכות החיצונית של משטחי המקדשים, אלא גם במבנה שלהם. מקדש הודי גדול משתרע על מתחם שאורכו ורוחבו יכולים להגיע לכמה מאות מטרים. אבל בניגוד לקתדרלה הנוצרית או למסגד המוסלמי, שגם הם יכולים להגיע לגודל כזה, המקדש ההודי איננו מאורגן כיחידה מרחבית אחידה. במקום זאת הוא מחולק למספר גדול של מתחמי משנה המחולקים בעצמם לתת מתחמים הולכים וקטנים, ובהם מבנים שגם בהם יש חלוקה למקדשים גדולים המכילים מקדשים קטנים וקטנים יותר. במבט ראשון, כל המתחמים והמבנים האלה נראים כמגובבים זה לצד זה וזה בתוך זה בלי שום תבנית וסדר. הם אכן נבנו לא על פי תוכנית ערוכה מראש אלא במשך כמה מאות שנים, כאשר כל תקופה מנצלת את החללים הריקים שבין המבנים של קודמותיה, ובונה בהם ככל העולה על רוחה.
 
עם זאת, בכל זאת ישנו סדר קפדני מאוד בארגון המתחמים והמבנים האלה, המתבטא בעובדה שלכולם אותו מבנה בסיסי. באמצע המתחם המלבני יש מתחם פנימי טהור וקדוש יותר, וסביבו מרחב פתוח או מסדרון המאפשר להקיף אותו מסביב. המתחם הפנימי ושטחים הנוגסים במרחב הפתוח שסביבו יכולים להיות מחולקים עוד ועוד, אבל גם בחלוקה הזאת נשמר אותו מבנה של שטח פנימי קדוש יותר וסביבו מרחב הקפה. במילים אחרות, אותה תבנית חוזרת על עצמה מהמרחבים שבין החומות החיצוניות, דרך המתחמים ותתי המתחמים והמבנים, ובתוכם עוד מבנים וחדרים וחדרונים יותר קטנים, ועד לכוכים קטנטנים סביב פסל בודד.
 
התבנית הזאת לא רק מתארת צורה איכותית של ארגון המרחב, אלא גם קובעת את המידות הכמותיות שלו. למעשה, כל המתחמים והמבנים במקדש בנויים על פי אותם יחסים גיאומטריים מדויקים של ארכיטקטורת הקודש ההודית. היחסים האלה יכולים להתבטא בכל סקאלות הגודל - מהמקדש הגדול במאדוריי שאורך צלעו כמאתיים וחמישים מטרים, ועד למקדשון ברונזה בגודל של כמה סנטימטרים. בכל סקאלות הגודל האלה, המקדש הוא כשר לפולחן, בתנאי שהמידות שלו מקיימות ביניהן את היחסים הגיאומטריים הנכונים.
 
המקדש ההודי בנוי אפוא במתכונת של פרקטל גדול, כאשר אותה תבנית של צורות בסיסיות ויחסים גיאומטריים חוזרת על עצמה ומכילה את עצמה בסקאלות גודל הולכות וקטנות. לפעמים הדמיון העצמי בין הסקאלות השונות מתבטא אפילו ברמה הסימבולית המפורשת, כמו למשל במקדש בהאלביד שבו מיוצגים שלושת האלים הראשיים של הפנתיאון ההודי. כשנכנסים לחלל המקדש, ניתן לראות כניסות לשלושה חדרים גדולים: השמאלי מוקדש לוישנו, הימני לבראהמה, והקדמי לשיווה. הכניסה הקדמית מובילה לחדר שבו שלושה חללים בגודל בינוני: השמאלי של וישנו, הימני של בראהמה, והקדמי של שיווה. החלל הקדמי הוא כמובן החשוב ביותר, וגם בו יש שלוש נישות קטנות לפסלים: השמאלית של וישנו, הימנית של בראהמה, והקדמית של שיווה.
מקדש הודי טיפוסי
מחזורים של בריאה וחידלון
תבניות דמויות פרקטלים אפשר למצוא לא רק במבנה המרחבי של המקדש ההודי, אלא גם בתפיסת הזמן ההודית. בניגוד לזמן החד פעמי של הדתות המערביות, המתמשך כביכול בקו ישר של כמה אלפי שנים מבריאת העולם ועד קצו, הזמן ההודי דומה למערכת מורכבת של מעגלים ומחזורים המכילים זה את זה בסקאלות גדלות והולכות. מחזור היום והלילה בחיי האדם מורכב מעשרות אלפי מחזורי נשימה ונשיפה, וממיליארדים רבים של תנודות שבהן התודעה מתעוררת ודועכת. אבל המחזור היומי בעצמו הוא רק חוליה אחת בשרשרת עונות השנה, שבהן הטבע כולו עובר משפע למחסור וחוזר חלילה. גם שנות חיי האדם הן חלק משרשרת מחזורית של לידות ומיתות, שבהן הנפש מתגלגלת מגוף אחד לאחר.
מחזור הלידה והמוות של גלגול הנפשות הוא בעצמו חלק ממחזור גדול עוד יותר, ה"יוגה" (ו' שרוקה) הנמשכת כמה מאות אלפי שנים. ארבע יוגות הן מאהאיוגה, כלומר "יוגה גדולה". שבעים ושתיים מאהאיוגות הן מאנוואנטארה אחת, שבסופה העולם נשטף במבול, וארבע עשרה מאנוואנטארות הן קאלפה אחת, שנמשכת בסביבות ארבעה מיליארד שנים. בסוף הקאלפה העולם חוזר לתוהו ובוהו, נשאר כך במשך פרק זמן דומה הנקרא פראלאיה, ואז חוזר ונברא מחדש. קאלפה ופראלאיה הן היום והלילה של האל הבורא בראהמה. לאחר שבראהמה מגיע לגיל מאה גם הוא מת, ואז נולד מחדש אחרי עוד מאה שנות בראהמה, וכן הלאה וכן הלאה במחזורים גדלים והולכים של בריאה וחידלון ובריאה מחדש עד אין קץ.
 
תפיסת הזמן ההודית בנויה אפוא ממחזורים בעלי אותו מבנה בסיסי של התהוות וכלייה, המכילים זה את זה בסקאלות גדלות והולכות, והיא מבטאת בכך את תכונת הדמיון העצמי של פרקטלים. גם הסיפורים הממלאים את זמן המיתוס ההודי הם בעלי אופי פרקטלי: ככל שבוחנים אותם ביתר פירוט, יש בהם עוד ועוד סיפורים ועלילות משנה. אפשר למשל למצוא את כל סיפור המסגרת של אפוס ענק כמו המאהאבהאראטה או הראמאיאנה, מתחילתו ועד סופו, בשלושים עמודים של חוברת קומיקס. יש גם ספרונים עם גירסאות קצרות וגירסאות ארוכות יותר ויותר, עד לטקסטים המסורתיים של עשרות ומאות אלפי שורות. כל הגירסאות האלה מספרות אותה עלילה במידה גדלה והולכת של פירוט, כשכל פרט בסיפור יכול להיפרש לעלילות משנה שבה מופיעים עוד ועוד סיפורים. בסופו של דבר, גם הגירסה הכתובה המסורתית איננה מהווה פירוט מלא וסופי של העלילה, משום שמקדשים או אלים מקומיים יכולים להיות קשורים בסיפורים משלהם, המשתלבים בתוך אחת האפיזודות של האפוס הגדול, וגם להם אפשר למצוא עוד גירסאות ועוד עלילות משנה.
עוד פרקטל
גלגולים וקומבינות
האפוסים הגדולים הם בעצמם רק חלק קטן מהמארג הסבוך של סיפורי המיתולוגיה ההודית, שבה לכל אל ולכל מקדש או פסל, לכל הר או נהר או עץ קדוש, יש אינספור סיפורים המשתלבים זה בזה ומובילים זה לזה, ולפעמים גם סותרים זה את זה, כשכל פרט בהם מוביל לעוד ועוד פרטים וסיפורים אחרים כאשר בוחנים אותו מקרוב. במארג הזה גם דמויות האלים מכילות זו את זו, כאשר הם מתגלגלים לפעמים זה לזה, לפעמים זה לחלק מזה, ולפעמים אף לחלק מהם עצמם.
 
האל וישנו למשל מופיע בעולם במהלך ההיסטוריה בעשר דמויות - "אוואטארים" או גלגולים. אחד מהם הוא האל קרישנה, הנוצר משערה מזקנו של וישנו. קרישנה הוא חלק מוישנו, ויחד עם זאת הוא גם וישנו בעצמו. לפיכך, למרות שקרישנה שוכן בתוך העולם, העולם כולו שוכן בתוך וישנו ולכן גם בתוכו. בפרק השיא של הבהאגווד גיטה, שהיא חלק מן המאהאבהאראטה, יש אכן תיאור של קרישנה המציג את דמותו האלוהית כווישנו בפני הלוחם ארג'ונה, ואז הוא מראה לו את חזיון היקום כולו בתוך גופו. כביכול, החלק מכיל בתוכו את השלם.
 
המיתולוגיה ההודית מלאה בדוגמאות כאלה. במקדש של קומבהקונם בטאמיל נאדו יש סדרת ציורים המתארת את האל שיווה, שהופיע בדמות צייד צעיר לאחר המבול ואז התאחד כולו עם דמות הלינגאם, שהוא איבר המין שלו. אפשר גם למצוא פסלים המתארים יחס הפוך - שיווה שוכן בדמותו השלמה בתוך הלינגאם. הלינגאם מהווה אפוא בבת אחת גם חלק משיווה, גם שיווה בעצמו וגם מרחב המכיל את שיווה בתוכו. גם האלות, שהן בעצם אלה אחת שכוללת את כולן ועם זאת מהווה כל אחת מהן בנפרד, משתתפות במשחק הזה. האלה לאקשמי היא בת זוגו של וישנו ובדרך כלל היא יושבת לצידו, אבל היא גם נמצאת כולה על לוח ליבו. פארווטי, אשתו של שיווה, היא גם האנרגיה הנשית המהווה מחצית מגופו. ודורגה, האלה הנוקמת, עשויה מאיחוד הכוחות של כל האלים הגברים, וכדי להשמיד את כוחות הרוע היא יוצאת מתוך גוף עצמה בדמותה האפלה של קאלי.
ישות חיה ופועמת מרובת ראשים וזרועות
האלים ההודיים חודרים אפוא זה לתוך זה ומכילים זה את זה, כמו הסיפורים והפסלים המתארים את עלילותיהם, וכמו חללי המקדשים שבהם מתבצע הפולחן שלהם. ככל שמתבוננים יותר מקרוב רואים עוד ועוד פרטים, והתכונה הזאת אולי מאפיינת לא רק את הוויית המקדשים והפולחן בהודו, אלא גם משהו כללי יותר בתחושה שהודו נותנת למטייל. במבט מרחוק, הרחוב ההודי הוא ערבוביה גועשת של אנשים, חיות וכלי רכב מכל הסוגים והגדלים, הדחוסים יחדיו לעתים קרובות בצפיפות שלא תיאמן וברעש מחריש אוזניים. אבל ההמולה הזאת איננה סתם אוסף חסר זהות של אנשים המנסים להגיע במהירות ממקום למקום. במבט מקרוב, אפשר לראות שכמעט כל האנשים ברחוב מקיימים ביניהם ללא הרף פעילויות, אינטראקציות וקומבינות שונות ומשונות, החולפות זו לצד זו וזו דרך זו כמעט ללא הפרעה. במובן מסוים, הרחוב כולו הוא ישות חיה ופועמת אחת, מרובת ראשים וזרועות כמו פסלי האלים. אבל ישות הרחוב הזאת מורכבת בעצמה ממתחמים ותת מתחמים שיש להם חיים משלהם, כמו למשל פינה של כעשרה סוחרי בשמים שכולם בני אותה קאסטה, ועם זאת כל אחד מהם יושב בדוכן משלו, ומנהל ממנו את מארג העסקים והמכרים שלו.
 
ברשת הסבוכה הזו של קשרים אנושיים, כל מפגש מקרי, כל הצצה לפינה צדדית או היענות להצעה חסרת חשיבות לכאורה יכולה להוביל למרחבים שלמים של חוויות ומאורעות מדהימים ומופלאים. שום סיפור לעולם איננו סגור עד הסוף, ושום אמירה אי אפשר לקבל כפשוטה: מאחורי כל אחד מהם מסתתרים עוד ועוד סיפורים, ההולכים ומסתבכים ככל שמנסים לברר אותם לאשורם. כביכול, כל אחד מהם לא רק עומד בפני עצמו, אלא גם מהווה מעין צלמית, בדומה לצלמיות המופיעות על צג המחשב: אפשר לבחור בו, ואז הוא נפתח ומגלה עולם חווייתי שלם, שבתוכו אפשר למצוא עוד צלמיות שיוליכו לעוד ועוד עולמות. התבנית הפרקטלית הזאת של ריבוי עצום של עולמות בתוך עולמות, של מציאות שלעולם איננה נגמרת ושתמיד אפשר להתבונן בה יותר ויותר מקרוב ולראות עוד ועוד פרטים וסיפורים, היא אולי מה שמקנה לנסיעה בהודו את האופי המיוחד, האופייני לה יותר מהרבה ארצות אחרות, של חריגה מהמציאות המוכרת, ובמקומה תחושה של גלישה ומשחק בסבך של ריבוי קשרים ואפשרויות, שלעולם אינן נוחתות על שום קרקע מוצקה וסופית.
 
אלים ומחשבים
פתחנו בצגי המחשבים, שעליהם נראו הפרקטלים לראשונה, וסיימנו בצלמיות שלהם, המזכירות את תרבות הצלמים והצלמיות ההודית. אפשר לחשוב על איזושהי קירבה בין העולמות החדשים של מושגים וחוויות, המתגלים כיום באמצעות הטכנולוגיה הממוחשבת, לבין דרכי חשיבה ודימויים שהתפתחו בהודו. על כך יכולות להעיד למשל לא רק הפריחה הגדולה כיום של תעשיית התוכנה ההודית, אלא גם העובדה שרבים מאוד מבין האנשים שחוללו את מהפכת המיחשוב האישי והאינטרנט, משנות השבעים ואילך, היו נתונים להשפעות הודיות דרך תנועת הניו אייג', ביקרו בהודו לפני ותוך כדי עבודתם בתעשיית המחשבים, או נטו אחרי תורות מיסטיות שמקורן בהודו.
 
אם אכן יש דמיון בין עקרונות הגיאומטריה הפרקטלית לבין מאפיינים בולטים של התרבות ההודית, כפי שניסינו להציג בדוגמאות שהובאו כאן, הרי שאפשר אולי לראות אותו כחלק ממארג רחב יותר של קשרים וחיבורים אפשריים בין עולם המחשבים והמידע של ימינו לבין דרכי המחשבה של הודו המסורתית. אפשר גם לנסות לחפש סימנים לקשרים כאלה בדימויים וביצירות של תרבות הצעירים כיום. הצעירים האלה גדלו בסביבה עתירת מחשבים ותקשורת, שנוצרה באמצעים של הטכנולוגיה המערבית המודרנית. אולם עולם הרעיונות המערבי המסורתי, שעיצב את החינוך שקיבלו, מתקשה להתמודד עם שפע האפשרויות, ההקשרים ונקודות המבט שסביבה כזו מציעה. ייתכן שאחד הגורמים המניעים את ההתעניינות הפעילה שלהם בהודו, כפי שהיא מתבטאת בנסיעות להודו ובייבוא התרבותי והחומרי של מוצרים וסמלים הודיים, הוא השאיפה למצוא מאגרים נוספים של רעיונות ודרכי חשיבה, שיאפשרו להבין ולהתמודד טוב יותר עם סביבה עתירת מידע וקשרים, פרטים וסיפורים, דמויות וצלמיות.
הזמנה טיפוסית למסיבת טראנס
אסתטיקת הפרקטלים בעולם הטראנס
חיבור כזה בין מחשבים והודו אפשר למצוא למשל בביטויים היצירתיים של קהילת מסיבות הטראנס, הנערכות כיום ברחבי העולם ובמיוחד בישראל. מקורותיו של הטראנס הפסיכדלי בחופי גואה שבהודו. משם הוא הגיע לישראל, ומשם לקוחים רוב הדימויים והסמלים שלו. אבל מוזיקת הטראנס, והאפקטים הוויזואליים הנלווים אליה, נוצרים באמצעים מתקדמים של טכנולוגיה ממוחשבת. אולי אין זה מקרה אפוא ששניים מהמוטיבים החזותיים הבולטים ביותר בציורים של עטיפות הדיסקים, בדי הקישוט והבגדים הצבעוניים של מסיבות הטראנס הם דמויות של אלים הודיים כמו גאנש או שיווה ואחרים, ולצידם דוגמאות הלקוחות מן הגיאומטריה של הפרקטלים, כמו למשל קבוצת מנדלברוט או וריאציות עליה.
 
זהו אולי אחד הביטויים החזותיים הברורים ביותר לקירבה שתרבות זמננו יכולה למצוא בין שתי מערכות המושגים והצורות שלכאורה באו ממקורות כה שונים - מצד אחד המחקר המתימטי המערבי של צורות פרקטליות וגיאומטריה ממוחשבת, ומהצד האחר עולם הדימויים והמושגים של האמנות, המיתוסים וחוויית החיים ההודית. ייתכן אפוא שההבחנה בקירבה כזו יכולה לתרום להבנתנו לא רק של הפרקטלים מצד אחד ושל הודו מהצד האחר, אלא גם של האופן שבו מערכות כאלה נפגשות, בעולם המוזר והמורכב של תרבות המידע המתהווה כיום.
 
הכתבה פורסמה במגזין "חיים אחרים"
 
קישורים נוספים:
דוגמאות של פרקטלים
 
 
לאתר של יואב בן דב
חדשות
פותחים ראש
מדיטציה
בודהיזם
אומנות לחימה
הספרייה
אסטרולוגיה
  מדד הגולשים
תשתחרר, בנאדם
                  40.86%
אני הוא זה
                  9.68%
האיש שפתח את הדלת
                  5.38%
עוד...

פותחים ראש
אימה ופחד: כך המוח מונע מאיתנו לעשות מדיטציה  
האל שבאל.אס.די  
על תפיסת הזמן של ספר ויקרא: פרשת שבוע